Каталог

Помощь

Корзина

Методические указания к лабораторным Измерения, обработка результатов и оценка погрешностей измерений, СамГУПС, 2011

Оригинальный документ?

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Кафедра физики и экологической теплофизики 

 

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 

к выполнению лабораторных работ по физике

Измерения. Обработка результатов и оценка погрешностей измерений

 

  

 

 

Под общей редакцией

профессора В.Т. Волова

 

 

 

 

 

 

Самара 2011

УДК 537

Методические указания к выполнению лабораторных работ по физике для студентов всех специальностей дневной и заочной форм обучения [Текст] / Составители: Волов В.Т., Волов Д.Б., Михайлов В.А., Вилякина Е.В. - Самара: СамГУПС, 2011. – 10 с.

 

Утверждено на заседании кафедры " 2" сентября 2011г., протокол № 1.

Печатается по решению редакционно-издательского совета университета. 

  

Содержит введение в измерительный практикум. Приведены краткие теоретические сведения, описания, методические указания, способы оценок погрешностей при выполнении лабораторных работ.

 

Составители:  В.Т. Волов

Д.Б. Волов

В.А. Михайлов

Е.В. Вилякина

 

Рецензенты: Д.ф.-м. н., профессор кафедры «Общая и теоретическая физика» Горохов А.В.,к.ф.-м.н., заведующий кафедрой «Высшая математика» Кузнецов В.П.

 

Редактор: И.М. Егорова

Компьютерная верстка: Н.В. Чертыковцева

Подписано в печать                         Формат 64х90   1/16

Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. п.л. 1,25

Тираж 250. Заказ №

© Самарский государственный университет путей сообщения, 2011

Введение

 

Для систематического и глубокого изучения теории обработки результатов измерений требуется соответствующая подготовка в области математического анализа и теории вероятности. Студенты первого курса, в лабораторном практикуме знакомящиеся с теорией ошибок, еще не обладают достаточным уровнем подготовки, что приводит к необходимости находить оптимальное сочетание полноты, строгости, простоты и краткости изложения математической теории обработки результатов измерений.

В настоящей работе дана только методика расчета погрешностей измерений, без углубления в вопросы, связанные с понятиями теории вероятности. Так терминологически не различаются понятия, связанные с конечностью и бесконечностью числа измерений. Функция плотности распределения вероятности результатов измерений и ее свойства вводятся и описываются на «физически» интуитивном уровне.

 

1.   Виды измерений 

Естественные науки и физика в частности, являются в своей основе экспериментальными. Измерениям в них принадлежит главная роль. Что понимается под измерением физической величины?

Измерение заключается в сравнении измеряемой физической величины с некоторым ее значением, принятым за единицу. Символически это можно выразить следующим уравнением:

Измерение заключается в сравнении измеряемой физической величины с некоторым ее,

где А – измеряемая величина, В – единица измерения (или эталон), n – численное значение измеряемой величины.

Таким образом, в результате измерения получается действительное положительное число.

 

Измерения делятся на прямые и косвенные.

Прямые измерения – это такие измерения, когда непосредственно измеряется сама исследуемая физическая величина. Например, при измерении массы происходит сравнение массы исследуемого тела с массой эталонов (гири, разновесы). При измерении длины – сравнение интересующего размера тела с длиной эталона (линейка, штангенциркуль, микрометр).

Косвенные измерения – это такие измерения, при которых искомое значение физической длины находят на основании известной функциональной зависимости между этой величиной и другими физическими величинами, которые измеряются в прямых измерениях. Например, при косвенном измерении плотности твердого тела правильной геометрической формы, когда объем тела V несложно определить:

Косвенные измерения это такие измерения, при которых искомое значение (для параллелепипеда),

 

Формула (для цилиндра),

где a, b, c – длина, высота и ширина параллелепипеда; d, h – диаметр и высота цилиндра.

Функциональная зависимость (формула) будет иметь соответствующий вид:

Функциональная зависимость формула будет иметь соответствующий вид(для параллелепипеда),

 

Формула(для цилиндра).

 

Таким образом, для определения плотности тела в этом случае, необходимо в прямых измерениях определить массу тела и его геометрические размеры.

 

2.  Классификация ошибок измерений

Процесс измерения физических величин – очень сложный процесс, в котором на результат измерений влияет большое количество разнообразных факторов. Что естественно приводит к ошибкам при измерениях. Поэтому, для получения достоверного, «надежного» результата, измерения повторяют несколько раз. При этом измерения проводятся с использованием тех же приборов и инструментов и при тех же внешних условиях и факторах. Такие измерения составляют серию равноточных измерений. Для них, на основе теории вероятностей и математической статистике, разработаны методы математической обработки результатов измерений. Анализ влияния различных факторов на результаты измерений позволяет видеть три вида ошибок (погрешностей). 

Систематические ошибки.

Они связаны с несовершенством методик измерения, погрешностей, используемых при измерениях мер и эталонов, а также погрешностей приборов. Например, при определении массы путем взвешивания на различных весах не учитывается разноплечность весов (методические ошибки). Масса используемых разновесов (гирь) не соответствует указанной на них (погрешности эталонов). Ошибки приборов, связанные с погрешностью градуировки шкалы, температурными погрешностями, люфтами. Характерная особенность систематических ошибок (погрешностей) – во всей серии равноточных измерений систематические погрешности сохраняют свою величину и знак. Так, если масса эталона 0,95 г, а на нем указано 1 г, то во всей серии измерений результат будет завышен на 0,05 г. Систематические погрешности определяют и учитывают при использовании более совершенных методик измерений, проверке используемых мер, эталонов и приборов, мерами, эталонами и приборами более высокого класса точности (это входит в обязанность метрологической службы). В учебном лабораторном практикуме, обычно, не исследуют систематические погрешности.

Случайные ошибки (погрешности).

Выше отмечалось, что на процесс измерения действует большое число различных внешних факторов. Случайные погрешности являются следствием действия тех факторов, влияние которых практически невозможно или очень трудно учесть. При многократных измерениях именно они приводят к разбросу результатов измерения. Случайные ошибки можно свести к минимуму, но полностью устранить их невозможно.

Грубые ошибки или промахи.

К ним приводят ошибочные измерения, возникающие в результате небрежного отсчета по прибору, неправильного включения прибора, неправильности записи и произведенных расчетов. Грубые ошибки по своим значениям резко отличаются от других результатов серии равноточных измерений. Такие результаты измерений отбрасываются при вычислениях результатов измерений и оценке погрешностей. При необходимости выполнятся повторные измерения.

В дальнейшем будем считать систематические ошибки и грубые промахи устраненными, и рассматривать только случайные ошибки.

 

3.  Погрешности прямых измерений

 

Пусть n раз, в серии прямых равноточных измерений, определяется физическая величина x. По результатам ее измерений: x1, x2, …, xi, xn, можно определить среднее значение измеряемой величины [1,3]:

Пусть n раз, в серии прямых равноточных измерений, определяется физическая.

Абсолютной погрешностью i-го измерения называется величина:

Абсолютной погрешностью i-го измерения называется величина.

 

Точность i-го измерения характеризуется относительной погрешностью:

Точность i-го измерения характеризуется относительной погрешностью.

 

Серия из n прямых равноточных измерений величины x, характеризуется средней квадратичной погрешностью измерений sx:

Серия из n прямых равноточных измерений величины x, характеризуется средней.

 

 

4.   Обработка результатов косвенных измерений

 

В косвенных измерениях, искомая физическая величина y связана с функциональной зависимостью у = f(x1, x2,…xm) с другими физическими величинами       x1, x2,…xm, которые измеряются непосредственно в серии n прямых равноточных измерений.

Вычисление средних значений В косвенных измерениях, искомая физическая величина y связана с функциональной и соответствующих средних квадратичных погрешностей измерений В косвенных измерениях, искомая физическая величина y связана с функциональной производится, согласно, предыдущему разделу.

При косвенных измерениях значение измеряемой физической величины находится подстановкой средних значений Формула в формулу Формула.

Например, при определении плотности цилиндра – среднее значение плотности вычисляется по формуле:

Например, при определении плотности цилиндра среднее значение плотности.

 

Например, при определении плотности параллелепипеда – среднее значение плотности вычисляется по формуле:

Например, при определении плотности параллелепипеда среднее значение.

 

Средняя квадратичная погрешность косвенных измерений вычисляется по формуле:

Средняя квадратичная погрешность косвенных измерений вычисляется по формуле.

 

Здесь Формула - обозначает взятие производной по одной из переменных физических величин, считается, что другие при этом не изменяются.

Применение этой формулы к вычислению средней квадратичной погрешности измерений плотности цилиндрического тела приводит к следующему результату:

Применение этой формулы к вычислению средней квадратичной погрешности.

 

Средняя квадратичная погрешность измерений плотности параллелепипеда равна:

Средняя квадратичная погрешность измерений плотности параллелепипеда равна.

Из последних формул хорошо виден смысл коэффициентов Формула.

Физические величины входят в формулу в разных степенях. Чем выше степень, в которой входит физическая величина в формулу, тем больше влияет неточность ее измерения на погрешность определяемой в косвенных измерениях физической величины. Так в приведенном примере, масса и высота цилиндра входят в формулу в первой степени, а диаметр во второй, что приводит соответственно к коэффициентам «влияния» 1 и 4. Поэтому, по возможности, такие физические величины желательно измерять с более высокой точностью [1,3].

 

 

 

 

5. Погрешность однократных прямых измерений

 

В силу разных причин, иногда, приходится ограничиваться единственным измерением физической величины. Например, при измерении плотности тела в учебном лабораторном практикуме массу, как правило, измеряют один раз. Как в этом случае оценить величину средней квадратичной погрешности? В учебных целях можно использовать приближенную формулу:

В силу разных причин, иногда, приходится ограничиваться единственным,

где D - цена деления прибора.

При взвешивании D - это величина наименьшего разновеса. Например, если масса тела при взвешивании оказалось равной 15,4 г, то D =0,1 г.

 

6. Доверительный интервал и доверительная вероятность

 

Среднее значение измеряемой физической величины, вычисленное по формулам для прямых и косвенных измерений, является наиболее вероятным значением и, поэтому принимается за значение физической величины в данной серии измерений. Так как число измерений всегда конечно, то и полученные средние значения являются случайными величинами. Случайный характер результатов измерений при их большом числе в серии равноточных измерений имеет следующие особенности. В основном результаты группируются вокруг среднего значения измеряемой величины. 

Причем относительная доля результатов измерений тем меньше, чем больше величина их абсолютной погрешности. Результаты измерений с одинаковой абсолютной погрешностью, но разным знаком, встречаются одинаково часто. Из двух процессов измерения одной и той же физической величины точнее тот, для которого в одном и том же интервале значений измеряемой величины, в районе ее среднего значения, больше относительная доля результатов измерений [2].

Пусть средняя величина x измерялась n раз. При этом m результатов измерений находится в интервале значений от Формула до Формула.

Вероятность a того, что результаты измерений лежат в интервале Формула, равна Формула. Это вероятность называется доверительной вероятностью, а соответствующий интервал - доверительным интервалом.

Согласно государственным стандартом в результате измерений определяется:

1) среднее значение физической величины,

2) доверительный интервал, в котором находятся физические величины,

3) доверительная вероятность a, с которой физическая величина находится в доверительном интервале.

Границы доверительного интервала e зависят от числа измерений и доверительной вероятности. Отметим, что увеличение числа измерений, в пределе до бесконечности, уменьшает величину случайной погрешности, но при этом остается погрешность, связанная с неточностью самого прибора, так называемая приборная (или инструментальная) погрешность, определяемая его классом точности и включающая систематические погрешности метода измерений, градуировки шкалы и т.п.

Величина доверительного интервала определяется по формуле

Величина доверительного интервала определяется по формуле,

 

где sx – средняя квадратичная погрешность измеряемой величины x, Формула - коэффициент Стьюдента, зависящий от числа измерений n и доверительной вероятности a.

 

Таблица 1

 

Коэффициент Стьюдента рассчитан с помощью теории вероятности и математической статистики и приводится в таблице 1[2].

Коэффициент Стьюдента  Формула

Число измерений n

Доверительная вероятность a

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,95

0,98

0,999

2

1,00

1,38

2,0

3,1

6,3

12,7

31,8

636,6

3

0,82

1,06

1,3

1,9

2,9

4,3

7,0

31,6

4

0,77

0,98

1,3

1,6

2,4

3,2

4,5

12,9

5

0,74

0,94

1,2

1,5

2,1

2,8

3,7

8,6

6

0,73

0,92

1,2

1,5

2,0

2,6

3,4

6,9

7

0,72

0,90

1,1

1,4

1,9

2,4

3,1

6,0

8

0,71

0,90

1,1

1,4

1,9

2,4

3,0

5,4

9

0,71

0,90

1,1

1,4

1,9

2,3

2,9

5,0

10

0,70

0,88

1,1

1,4

1,8

2,3

2,8

4,8

15

0,69

0,87

1,1

1,3

1,8

2,1

2,6

4,1

20

0,69

0,86

1,1

1,3

1,7

2,1

2,5

3,9

  

Приборы для измерения линейных размеров

Линейка

ЛинейкаПриборы для измерения линейных размеров

 

Всем известная линейка пригодна для измерения размеров самых разнообразных тел. Однако по ней можно отсчитать только целое число миллиметров. А миллиметр при современных точностях обработки стал весьма большой единицей длины, поэтому линейку применяют только для грубых измерений. Совмещение двух линеек в более совершенном инструменте - штангенциркуле позволяет измерить размеры с точностью до 0,1 мм.

Штангенциркуль

Штангенциркуль

 

Штангенциркуль состоит из основной шкалы -линейки с миллиметровыми делениями и перемещающейся по ней подвижной рамки. Измеряемый предмет зажимают между губками. По штрихам основной шкалы прочитывают целое число миллиметров. К рамке прикреплена маленькая линейка - нониус - с десятью делениями, которые равны девяти делениям основной шкалы, т. е. каждое деление нониуса на 0,1 мм меньше деления основной шкалы. По штрихам нониуса определяют, на сколько десятых долей миллиметра измеряемый размер превышает целое число миллиметров. Для этого устанавливают, какой из штрихов нониуса совпал со штрихом основной шкалы [4].

Внимание! Запрещается перемещать подвижную рамку за пределы штанги во избежание потери плоской пружины.

При внутренних измерениях к показаниям штангенциркуля по основной и нониусной шкалам прибавляется толщина губок, которая указана на них.

Микрометр 

Рисунок

 

Главная деталь микрометра - точный микрометрический винт, ввернутый в гайку, называемую стеблем. При одном обороте винт перемещается вдоль своей оси на 0,5 мм. На винте неподвижно насажен барабан, на котором по окружности нанесено 50 делений. Таким образом, поворот винта на одно деление равен 1/50 полного оборота, или 0,01 мм (0,5мм/50 =0,01 мм). Вращая барабан, зажимают измеряемую деталь между винтом и пяткой скобы и производят отсчет. Сначала по верхней  шкале стебля определяют, сколько миллиметров, начиная от первого штриха, прошел барабан. Если барабан перешел штрих на нижней шкале стебля, определяющей полумиллиметры, то это означает, что дробная часть размера больше 0,5 мм. А на сколько размер детали превышает целое число полумиллиметров, устанавливают по тому штриху барабана, который совпадает с продольной линией на стебле [4].

Контрольные вопросы

 

1.  Виды и источники погрешностей измерения.

2. Каковы инструментальные погрешности линейки, штангенциркуля и микрометра?

3. Что называют доверительной вероятностью (надежностью) и доверительным интервалом (интервалом надежности) результата измерения?

4. Как использовать таблицу коэффициентов Стьюдента для расчета доверительного интервала по заданной надежности?

5. Как рассчитать погрешность прямого измерения массы и линейных размеров тел?

6. Как рассчитать погрешность косвенного измерения плотности цилиндра, параллелепипеда?

  

Библиографический список

 

1. Кортнев А.В., Рублев Ю.В., Куценко А.Н. Практикум по физике. М.: Высшая школа. – 1965. – 568 с.

2. Ахматов А.С., Андреевский В.М., Кулаков А.И. и др. Лабораторный практикум по физике. М.: Высшая школа. – 1980. – 360 с.

3. Гольдин Л.Л., Игомин Ф.Ф., Козел С.М. и др. Лабораторные занятия по физике. М.: Наука. – 1983. – 704 с.

4. Методические указания к выполнению лабораторных работ по физике: «Механика и молекулярная физика» для студентов всех специальностей дневной и заочной форм обучения / Под редакцией В.Т. Волова. – Самара: СамГАПС, 2006 – 68 с.