Каталог

Помощь

Корзина

Прикладная механика. 6 Задач

Оригинальный документ?

Задача 1.1. Расчет статистически неопределимой стержневой системы

Задача. Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирную опору и закреплен двумя стержнями при помощи шарниров.

Решение задачи рассматриваем по варианту, соответствующему шифру 081.

По таблице 1.1.принимаем: а = 3,0 м; b = 2,1 м; с = 2,0 м; А = 18 * 10-4 м2; схему I. Общие данные: допускаемое напряжение [σ] = 160 МПа; предел текучести σт = 240 МПа; коэффициент запаса прочности n = 1,5.

 

Рисунок 1. Стержневая система. а начальное положение, б после применения сил

Рисунок 1. Стержневая система. а – начальное положение, б – после применения сил

Решение.

1. Разрезаем стержни и вводим неизвестны силы N1 и N2

Составляем уравнение моментов относительно центра неподвижной опоры (точки О)

N1(a+b) + N2 a sin45o - Q(c) = 0                                                       (1)

В результате деформации стержневой брус занимает новое положение.

Составим второе уравнение, выражающее зависимость между абсолютными деформациями обоих стержней.

Из треугольников ОММ1 и ОWW1, показных на рисунке получим очевидное соотношение

ММ1/а =  WW1(а+b),                                                                        (2)

где ММ1 = Dl2/cos45o;

WW1 = Dl1;

Преобразуем равенство (2)

Dl2(a+b) = Dl1a*cos45o

Выразим в этом равенстве абсолютные деформации через продольные силы (по закону Гука)

N2l2(a+b)/E*A = N1l1a cos45o/E2A,                                                 (3)

где l1 = c, a l2 = a/cos45o - длины стержней.

Подставляя необходимые величины в уравнения (1) и (3), получим

N1(3+2,1) + N2*3*sin 45o = 2Q                                                       (4)

N12 a cos45o /E2A = N2b(3+2,1)/E A cos45o;                                    (5)

Решая совместно уравнения (4) и (5), получим

N1 = 0,7114 Q                                                                                 (6)

N2 = 0,392 Q                                                                                    (7)

 

2. По найденным продольным силам подсчитываем напряжения в обоих стержнях:

s1 = N1/2А = 0,7114Q/2*18 * 10-4 = 197,6Q                              (8)

s2 = N2/А = 0,392Q/18 * 10-4 = 217,7Q                                     (9)

 

Сравнивая результаты, можно сказать, что наибольшее напряжение будет во втором стержне.

Определим допускаемую нагрузку [Q], приняв большее напряжение допускаемому s1 =  [s]. Получим [s] = 197,6Q или 160 МПа = 197,6[Q]. Отсюда

[Q] = 160/197,6 = 0,8097 МН = 809 кН

 

3. Определим предельную грузоподъемность системы Qпред. Из равенств (8) и (9) видно, что в упругой стадии работы в первом стержне напряжение меньше, чем во втором, т.е. s1>s1. При увеличении нагрузки Q напряжения во вором стержне достигнут предела текучести раньше, чем в первом. Предельной нагрузкой для второго стержня будет

N2T = sTA = 240*106*18*10-4 = 432 кН

К моменту наступления предельной нагрузки для второго стержня, напряжения в первом стержне еще не достигнут предела текучести. При дальнейшем росте сил Q напряжения и, следовательно, усилия во втором стержне будут оставаться неизменными, усилия же и напряжения в первом стержне будут увеличиваться, пока не достигнет предела текучести, а усилие не станет равным величине 

N1T = sTA = 240*106*218*10-4 = 864 кН

Это состояние конструкции является предельным, так как дальнейшее увеличение нагрузки Q невозможно. Теперь для момента достижения системой предельного нагруженного состояния воспользуемся уравнением равновесия статики (1). Подставив в него значения усилий N1T и N2T, найдем предельную грузоподъемность системы

Qпред = [N1T*(a+b)+ N2T*a*sin45o]/c = [864*(3+2,1)+434*3(Это состояние конструкции является предельным, так как дальнейшее увеличение)]/2 = 2268 кН

Допускаемая нагрузка, вычисляется по предельному состоянию системы [Q]пред, с учетом коэффициента запаса прочности n=1,5

[Q]пред = Qпред /n = 2268/1,5 = 1512 кН

4. Сравнивая результаты, можно сделать вывод, что допускаемая нагрузка [Q]пред, вычисляется по предельному состоянию системы, больше допускаемой нагрузки [Q], вычисляемой по допускаемому напряжению.

Этот вывод можно принять за проверку правильности полученного решения задачи.


Задача 1.2. Расчет на прочность двухопорной балки

Для данной балки из условия прочности подобрать номер двутавра.

1. Определим опорные реакции RA и RB

ΣМА (fs) = 0;

Р * (l+c) + М + (g * (a2/2)) - RB*l = 0;

RB = (Р * (l+c) + М + (g * (a2/2)))/ l = (16*(8+0,8)+5+(6*2,88))/8 = 20,4кН

ΣМB (fs) = 0;

P * c + М - (RА*l) - (g*a*(l-a/2)) = 0;

RА = (P * c + М - (g*a*(l-a/2)))/l = (16*0,8+5-(6*2,4*(8-1,2)))/8 = 10 кН

Проверка:

Σ fsy = 0;  - Р + RB- RА- g*a = 0

- 16 + 20,4 + 10 - 14,4 = 0;

RА = 10 кН;

RB = 20,4кН;

2. Составим уравнения поперечных сил Q и изгибающих моментов М по участкам балки построим их эпюры.

1 участок:

Q1z = - P = - 16 кН;

М1 z, z=0 = 0;

М1 z, z= Р * с = 16 * 0,8 = 12,8;

2 участок: с<z<c+b

Q2c = - P +Rb = -16 + 20,4 = 4,4;

Q2c = - P +Rb =-16 + 20,4 = 4,4;

М2c = P +c =16*0,8=12,8;

М2c+b = P*(c+b)- Rb*b=16*2,4-20,4*1,6=5,76;

3 участок: с+b<z<l-a

Q3c+b = - P+Rb=4,4;

Q3l-a = - P+Rb=4,4;

M3c+b = M+ P*(c+b) - Rb*b=5+16*2,4-20,4*1,6=10,76;

M3l-a = M+ P*(l+c-a) - Rb*(l-a)=5+16*6,4-20,4*5,6=-6,84;

4 участок: l-a<z< l+c

Q4l-a = - P+Rb=4,4;

Q4l+ c = - P+Rb-g*a=4,4-14,4=-10;

M4l-a = M+ P*(l+c-a) - Rb*(l-a)=5+16*6,4-20,4*5,6=-6,84;

M4l+c = M+ P*(l+c) - Rb*l+g*(a2/2)=0;

По полученным значениям построим эпюры Q и М.

Опасное сечение балки будет на опоре А, где действует наибольший изгибающий момент Мmax = 6,84кНм;

2. Из условия прочности по нормальным напряжениям

σmax = Мmax / Wx ≤ [σ]

определим потребный момент сопротивления балки:

Wx = Мmax / [σ] = (6,84*10-3 Мн*м/160МПа) = 0,04 * 10-3 м3 = 40 см3

По сортаменту подходит двутавр №13, у которого

Wx = 58,4 см3 , тогда

σmax = Мmax / Wx = (6,84*10-3 /58,4*10-6) = 117 МПа, тогда

σmax<[σ], т.к. 117<160 МПа

 

Задача 1.3. Расчет моментов инерции составных фигур

Задание: Для данного сечения определить положение главных центральных осей и величину главных центральных моментов инерции

Решение:

РешениеЗадание Для данного сечения определить положение главных центральных


Швеллер №18 - I

Ашв. = 20,70 см2

Jх = 1090,0 см4

Jу = 86 см4

z0 = 1,94 см

Уголок 80*50*6 - II

b = 80

A = 7,55 см2

Jх = 48,98 см4

Jу = 14,85 см2

у0 = 2,65 см

 

А1 = 20,7 см2

z0 = 1,94 см

у1 = 9 см

х1 = 1,94 см

A = 7,55 см2

у0 = 2,65 см

у2 = 2,65 см

х2 = 1,17 см


хс = ((А11)+ (А22))/ (А12) = ((20,7*1,94)+(7,55*1,17))/ (20,7+7,55) =1,73

ус = ((А11)+ (А22))/ (А12) = ((20,7*9)+(7,55*2,65))/ (20,7+7,55)=7,3

 

Определим осевые моменты инерции всех фигур, относительно новых осей:

ось х:

JxcI = 1090 + (9-7,3)2 * 20,7 = 1149,8

JxcII = 48,98 + (2,65-7,3) * 7,55 = 212,23

JxcΣ = JxcI  +  JxcII  = 1149,8 + 212,23 = 1362,03

ось у:

JуcI = 86 + (1,94-1,73)2 * 20,7 = 78,26

JуcII = 14,85 + (1,17-1,73) * 7,55 = 35,2

JуcΣ = JуcI  +  JуcII  = 78,26 + 35,2 = 113,46



Задача 2.2. Расчет вала на совместное действие изгиба и кручения

Задание: Шкиф с диаметром D1  и ветвями ремня, направленными вертикально, вращается угловой скоростью w и передает мощность N1. Два других шкифа имеют одинаковый диаметр D2 и ветви ремней, направленных горизонтально, каждый из шкифов передает мощность N2 = 0,5 N1.  Схема вала приведена на рисунке.

Решение:

N2 = 0,5 N1 = 0,5*10кВт=5 кВт

[σ] = 160 МПа

D1 = 0,5 м

D2 = 0,3 м

w = 15 рад/с

а=0,8, b=0,7, c=1,1

1. Определим внешние скручивающие моменты, действующие в передаче:

М1 = N1/ w = 10/15=0,7 кН*м

М2 = N0/ w = 5/15=0,3 кН*м

По полученным значениям внешних скручивающих моментов строим эпюру крутящих моментов.


Задача 2.3. Расчет на устойчивость по коэффициентам продольного изгиба


Задание: Определить размеры поперечного сечения стального вертикально расположенного стержня длиной l, который нагружен продольной силой F.

Решение:

F = 80 kH

l = 2,3 м

s = 160 МПа

s 160 МПа


1. Примем для первого приближения j0 = 0,5. Тогда необходимая площадь сечения будет равна:

А = N/j0*[s] = 80*103/0,5*160*106 = 10-3 м 2 = 10 см2, а радиус поперечного сечения стержня  - r = 1. Примем для первого приближения j0 0,5. Тогда необходимая площадь сечения будет= 3,9 см

 

Радиус инерции сечения стержня:

j = Радиус инерции сечения стержня= Радиус инерции сечения стержня= 1,9499 см

 

С учетом коэффициента приведения длины m=1 определим гибкость стержня по формуле:

l = m*1/I = 1*230/1,9499 = 118

 

Для материала стержня (сталь марки Ст.3) при гибкости l = 110 из таблицы 2.3.1 соответствует коэффициент понижения допускаемого напряжения j(110) = 0,478, а гибкости l = 120 соответствует j(120) = 0,419

 

Следовательно гибкости l = 118 будет соответствовать коэффициент

j1табл = 0,478-[0,478-0,419]*8/10] = 0,4308

 

При таком значении j допускаемое напряжения при расчете на устойчивость равно

[sy] = j1табл * [s] = 0,4308*160 = 68,9 МПа

 

Проверим, какое напряжение будет в стержне, если площадь его сечения А  = 10 см2,

s = F/A = 80*103/10-3 = 80 МПа, т.е. действующее напряжение в стержне s = 80 МПа значительно больше, чем допускаемое напряжение на устойчивость [sy] = 68,9 МПа, а коэффициент j1табл меньше первоначального принятого, поэтому площадь сечения надо увеличить

 

1.1 Повторим расчет, приняв

j2 = (j0 +  j1табл)/2 = (0,5+0,4308)/2 = 0,4654

 

Площадь сечения

А = N/j2 * [s] = 80*103/0,4654*160*106 = 80000/74464000 = 10,74 см2

 

Радиус инерции сечения стержня

i = r/2 = Радиус инерции сечения стержня = Радиус инерции сечения стержня=1,849 см

 

гибкость стержня

l = m*1/i = 1*230/1,849 = 124

 

Тогда j2табл = 0,419-[(0,419-0,364)4/10] = 0,397

 

Допускаемое напряжение на устойчивость равно:

[sy] = j2табл * [s] = 0,397*160 = 64 МПа

 

Напряжение в поперечном сечении стержня получается при этом равным

s = F/A = 80*103/0,001074 = 74 Па

 

Перенапряжение по устойчивости составляет

100%(74-64)/74 = 13,5%, что не допустимо

 

1.2. Делаем следующую итерацию.

Применим j3 = (j2 +  j2табл)/2 = (0,4654+0,397)/2 = 0,4312

Тогда используя ранее формулы, получим:

А = 80*103/0,4312*160*106 = 80000/68992000 = 11,59 см2

i = 1,92 cм

l = 120

j3табл = 0,419

[sy] = 67 МПа

s = 69 МПа

Перенапряжение по устойчивости составляет

100%(69-67)/69 = 3%, что так же не допустимо

 

1.3. Делаем еще одну итерацию.

Применим j4 = (j3 +  j3табл)/2 = (0,4312+0,419)/2 = 0,4251

Тогда используя ранее формулы, получим:

А = 80*103/0,4251*160*106 = 80000/68016000 = 11,761 см2

i = 1,935 cм

l = 119

j3табл = 0,478-[(0,478-0,419)9/10] = 0,4249

[sy] = 67,984 МПа

s = 68,02 МПа

Перенапряжение по устойчивости составляет

100%(68,02 -67,984)/ 68,02  = 0,05 %, что допустимо

В технических расчетах относительная погрешноть не должна превышать 1%

Окончательно принимаем диаметр поперечного сечения стержня (с учетом рекомендаций табл. 2.2.1)

2d = Окончательно принимаем диаметр поперечного сечения стержня с учетом = 3,87

d = 77,4 мм

 

2. Для стали марки Ст.3 предельное значение гибкости, при котором применима формула Эйлера, равно lпред ³100

 

 

Поскольку для рассчитываемого стержня l = 119, расчет критической силы ведем по формуле Эйлера:

sкрит = Поскольку для рассчитываемого стержня l 119, расчет критической силы ведем по = 139,4 МПа

 

тогда критическая сила будет равна

 

Fкрит = sкрит*A = 163,9 кH

 

Коэффициент запаса устойчивости равен

ny = Fкрит/N = 163,9/80 = 2,04

 

Для проверки правильности решения задачи должно выполниться условие ny £ [ny], где допускаемый коэффициент запаса устойчивости, принимаемый в интервале [ny] = 2 – 2,5

Список использованной литературы

1. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. – М.: Высшая школа, 1995. – 560 с.

2. Сидоров В.Н. Лекции по сопротивлению материалов и теории упругости. – М.: Изд. Центр генштаба Вооруженных сил РФ, 2002. – 352 с.

3. Дарков А.В., Шапиро Г.С. Сопротивление материалов: учеб. Для студентов заочных вузов и вфакультетов. –5-е изд., перераб. – М.:  Высшая школа, 1989.- 654 с.

4. Смирнов А.Ф. Сопротивление материалов. М.: Высшая школа, 1975. – 390 с.

5. Сопротивление материалов. Методические  указания  к  выполнению контрольной  работы  № 4для  студентов  III  курса спец. Т, В, СМ, ЭПС (21/1/15).