Каталог

Помощь

Корзина

Техническая механика. 6 задач

Оригинальный документ?

Задача 1

Задание

Аналитически и графически определить реакции связей, удерживающих груз силой тяжести G= 1500 Н.

Аналитическое решение

1.1.В точке О прикладываем силу тяжести груза G (активную силу). Освобождаем груз от связей и прикладываем реакцию гладкой поверхности R1 (перпендикулярно ВС) и реакцию гибкой связи R2 (параллельно ОА). Так как груз находится в равновесии, то получаем систему трех сходящихся в точке О сил.

1.2.Выбираем систему координат и составляем уравнения равновесия:
        ∑F
kx= 0; R1 + R2cos60°-G cos40° = 0; (1)

Fky= 0;        R2cos30°-G cos50° = 0; (2)

1.3 Определяем реакции связей; R1  и R2, решая уравнение (1) и (2):

Из уравнения (2) R2 =1.3 Определяем реакции связей R1 и R2, решая уравнение 1 и 2

Из уравнения (1)  R1 = - R2cos60°+ G cos50°=-1113 · 0.5+15000 · 0.7660=592H

2. Графическое решение

2.1 Выбираем масштабный коэффициент сил µf = 40 Н/мм.

Определяем отрезок, изображающий силу тяжести G:

ab=2.1 Выбираем масштабный коэффициент сил f 40 Нмм. Определяем отрезокмм

2.2 Полученная система сил находится в равновесии, поэтому силовой многоугольник  должен быть замкнутым, т. е.:

2.2 Полученная система сил находится в равновесии, поэтому силовой2(||OA) + 2.2 Полученная система сил находится в равновесии, поэтому силовой + 2.2 Полученная система сил находится в равновесии, поэтому силовой1(2.2 Полученная система сил находится в равновесии, поэтому силовойBC) = 0 , (3)

2.3 Вычислим реакции связей Формулаи Формула , полученные в результате графического решения уравнения (3):

Формула=bc · µf = 14,5 ·40 = 580 Н;     Формула = ca ·µf = 28 · 40 = 1120 Н.


3. Проверка

Вычисляем ошибки, полученные при определении реакций связей R1 и R2 аналитическим и графическими способами:

Вычисляем ошибки, полученные при определении реакций связей R1 и R2

 

Формула

Рисунок


Задача 2 

ЗаданиеДля консольной балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой

Задание

Для консольной балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q, силой F и парой сил с моментом М, определить опорные реакции заделки, если q = 20 кН/м, F= 10 кН, М =5 кН м, а = 0,4 м.


Решение

1.Выбираем систему координат хАу, совмещая ось х с балкой, а ось у, направляя перпендикулярно оси х. Освобождаем балку от связей и прикладываем реакции связей: реактивный момент МА и составляющие реакции RA по осям координат RAX и RAY. Равнодействующую равномерно распределенной нагрузки Fq = q · 2а = 20 · 2 ·0,4 = 16 кН, приложенную в точке пересечения диагоналей прямоугольника, переносим по линии ее действия в середину участка CD — в точку К.

2. Для полученной плоской системы сил составляем 3 уравнения равновесия и определяем опорные реакции.

2.1 Определяем реактивный момент МA

∑МA(FK)=0: MA-M + Fq 3a-F · AE=0.

Определяем плечо силы F относительно точки А.  Для того из точки А опускаем перпендикуляр АЕ на линию действия силы F. Из ∆ ABE определяем плечо силы F: АЕ=АВ · sin60°=5а  sin60°=5 · 4 · 0.8560=1.732 м

2.2 Определяем реакцию rax

ΣFAX=0; rAX +F  ·cos60° =0;

RAX=-F · cos60° = -10  ·0.5 кН.

Реакция  RAX  получилась отрицательной,  следовательно,  ее действительное направление противоположно предварительно выбранному.

2.3 Определяем реакцию RAY:

ΣFXY =0; RAY F + F · cos30° =0

RAY=Fq-F · cos30° =16-10 · 0,8660 = 7,340 кН.

3. Проверка:

ΣMB (FK) = 0; MA+RAY  · 5a - M-Fq · 2a = 0;

3,120 + 7,340 · 5 ·0,4 -5-16 ·2 ·0,4=0

Условие равновесия ΣMB (FK)= 0 выполняется.


Задача 3

Задание

Определить главные центральные моменты инерции для поперечного сечения, составленного из листа 1 сечением 6 х 200 мм, двутавра 2 № 20 и швеллера 3 № 18.

Решение

1. Выбираем оси координат X0 и У0, как показано на рисунке. Для листа вычисляем, а для двутавра и швеллера выбираем из таблиц прокатной стали геометрический характеристики и необходимые размеры. Для листа 1.

1. Выбираем оси координат X0 и У0, как показано на рисунке. Для листа вычисляем, а

Площадь поперечного сечения:

А1 = h1b1 =0,6 · 20 = 12 см2:

Момент инерции относительно оси         X1;

Jх1=Момент инерции относительно оси X1см4

Момент инерции относительно оси      У1;

         JY1=Момент инерции относительно оси У1

Координаты центра тяжести х1=0. y1 = h1 /2  = 0,6/2=0,3 см.

Для двутавра 2 № 20 (h2 =20 см)

Площадь поперечного сечения А2 = 26,8 см2;

Момент инерции относительно оси Х2    Jk2=1840 см4;

Момент инерции относительно оси У2    Jv2=115 см4;

Координаты центра тяжести: X2=0, Y2=h1+Момент инерции относительно оси У2 Jv2115 см4 см

Для швеллера 3 № 18 (Z0= 1,94 см, d=0,51 см)

Площадь поперечного сечении A3=20.7 см2;  

Момент инерции относительно оси X3 JX3=86см4; 

Момент инерции относительно оси У3 JY3=1090 см4; 

Координаты центра тяжести: Х3 = 0. У3 = h1 +h2+d -Z =0.6+20 +0,51-1,94=19,17 см.

2. Определяем координаты центра тяжести сечения:

2. Определяем координаты центра тяжести сечения

3. Определяем главные центральные моменты инерции сечения. Одной из главных центральных осей является ось симметрии У другая главная центральная ось X проходит через центр тяжести С сечения перпендикулярно оси У. Определяем расстояния между центральными осями X1, Х2 и Х3 и главной центральной осью X:

a1 c1=11.50-0.30=11.20см;

а2 = Ус2= 11,50 - 10.60 = 0.90 см;

33 = Ус3= 19.17-11,50 = 7.67 см.

Главные центральные моменты инерции сечения определяем как  алгебраическую сумму моментов инерции его частей.

Главный центральный момент инерции сечения относительно оси X:

Главный центральный момент инерции сечения относительно оси X

Главный центральный момент инерции сечения относительно оси У: JУ=Jу1+ Jу2 + Jу3 = 400+115+1090=1605 cm4.


Задача 4

ЗаданиеДвухступенчатый стальной брус нагружен силами F1, F2 и F3. Площади

Задание

Двухступенчатый стальной брус нагружен силами F1, F2 и F3. Площади поперечных сечений ступеней А1 и А2. Построить эпюры продольных сил нормальных напряжений и перемещений сечений бруса, приняв Е=2*105 Н/мм2,если a = 0.2м. А1= 1,9см2. A2=3.1 см2, F1 =30 кН, F2 = 38кН и F3 =42кН.

Решение

1. Разбиваем брус на 5 участков, начиная от свободного конца. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы и места изменения размеров поперечного сечения.

2. Методом сечений определяем продольную с илу для каждого участка:
N1=0;
N2=F2 = 30 кН; N3 = F1 = ЗО кН; N4 = F1-F2 = 30-38= -8 кН;
N5=F1-F2-F3 = 30-38-42=-50 кН.

Строим эпюру продольных сил в масштабе μF= 2 кН/мм.

3.Определяем напряжения в поперечных сечениях каждого из участков:

3.Определяем напряжения в поперечных сечениях каждого из участков; 3.Определяем напряжения в поперечных сечениях каждого из участков;  3.Определяем напряжения в поперечных сечениях каждого из участков;

Формула;     Формула.

 

Строим эпюру нормальных напряжений в масштабе μσ=10Н/мм2∙мм.

1.Перемещение свободного конца бруса определяем как сумму
удлинений (укорочений) участков бруса.

 

λ=∆ι1+∆ι2∆ι3+∆ι4+∆ι5.

12345              12345       


            Формула

 

Формула

 

Формула

 

Перемещение свободного конца бруса: λ= 0,158 + 0,097-0,026-0,161 =0,068 мм. Определяем перемещения сечений:

λB=0;         λ=∆Перемещение свободного конца бруса 0,158 0,097-0,026-0,161 0,068 мм5=-0,161 мм;

λA =  λC +∆ ɩ4 = 0,161-0,026= -0.187 мм;

λK = λA +∆ɩ3= -0,187 + 0,097= -0.090 мм;

λL = λK +∆ɩ2=-0.090+0.158=0.098 мм;

λM = λL  = 0,068 мм;

Строим эпюру перемещений сечений бруса в масштабе

μɩ =1*10-5 м/мм.


Задача 5

Задание

Для заданного вала определить значения внешних скручивающих моментов М,, М2 и М3 и уравновешивающий момент М0. Построить эпюру крутящих моментов подлине вала. Определить длину вала из расчетов па прочность и жесткость. Построить эпюру углов закручивания по длине вала, если G = 8 104 Н/мм2, (τ) =30 Н/.мм2, [φ0]=0,02 рад/м, ω= 25 рад/с, Р1=3.6 кВт, Р2 = 4,1 кВт, Р3 = 4,6 кВт, а = Ь = с = 2,1 м.

Решение

1. Определяем численные значения внешних скручивающих моментом:

 1. Определяем численные значения внешних скручивающих моментом;      1. Определяем численные значения внешних скручивающих моментом;

Формула.

Из условия равновесия вала определяем уравновешивающий момент М0

Из условия равновесия вала определяем уравновешивающий момент М0:

ΣМ=0; -М1203=0

М0=М12+М3=144+164+184=492Н·м

2. Разбиваем вал на 3 участка. С помощью метода сечений определяем крутящие  моменты на каждом участке:

МК1=-М1=-114Н·м;

МК2=-М12  =-114-164=-308 Н·м

МК3=-М120=-144164+492=184Н·м

Эпюру крутящих моментов по длине вала строим в масштабе

μм= 20 Н·м/мм.

3. Требуемый полярный момент сопротивления

3. Требуемый полярный момент сопротивления

Определяем диаметр вала из расчета на прочность:

Определяем диаметр вала из расчета на прочность

4.Требуемый полярный момент инерции

4.Требуемый полярный момент инерции мм4.


Определяем диаметр вала из расчета на жесткость:

Определяем диаметр вала из расчета на жесткость

5. Принимаем диаметр вала d = 38 мм. Полярный момент инерции:

5. Принимаем диаметр вала d 38 мм. Полярный момент инерции

Определяем углы закручивания участков вала:

Характерными являются те сечения балки, где приложены сосредоточенные силы и моменты, а также сечения, ограничивающие участки с равномерно распределенной нагрузкой. Для построения эпюр Qy и Mz необходимо использовать правила построения эпюр, приведенные на стр. 287 (1) и на стр. 168 (2).

Для подбора сеченая балки из условия прочности определяют необходимое значение осевого момента сопротивления:

                                     Для подбора сеченая балки из условия прочности определяют необходимое значение ,

 где[ σ] — допускаемое напряжение.


Задача 6

1.Определяем реакции опор

Задание

Для двухопорной балки определить реакции опор, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Найти максимальный изгибающий момент и подобрать необходимые размеры "b" и "h" деревянной балки прямоугольного поперечного сечения, приняв h=2b и [σ]=10Н/мм2, если q=20 кН/м, F= 10 кН, М = 5 кН м, а=0.4 м.


Решение

1.Определяем реакции опор:

ΣМА (FK) =0; q·2a·2a-F4·a-M-Rb·6a=0;

МА FK 0 q2a2a-F4a-M-Rb6a0

 

Формула

 

Проверка: ΣFKУ=0; RA-q·2a+F-RB=0; 9,42-20·2·0,4+10-3,42=0; 0=0

2. Разбиваем балку на 5 участков и определяем поперечную силу QУ  для каждого участка:

QУ1= RA = 9.42KH;  QУ2=RA-q(х-а),         2. Разбиваем балку на 5 участков и определяем поперечную силу QУ для каждого;

при х = a      QУ2= rA = 9,42 кН;

при х = За    QУ2= RАq·2a= 9,42 - 20·2· 0,4=6.54кН

QУ3 = RB-F = 3,42-10=-6,58 кН;

QУ4= RВ = 3.42 кН;          QУ3= QУ4 = 3.42 кН.

Эпюру поперечных сил  QУ строим в масштабе μQ=1кН/мм

3. Определяем положение сечения С, в котором QУ=0:

QУC =RA-q(x-a)=0, откуда xC = RA/q + a= 9,42/20+ 0,4 = 0,871 м.

4. Определяем изгибающий момент MZ для каждого участка:

mZ1 = RA·x, 4. Определяем изгибающий момент MZ для каждого участка

при х=0 MZ1=0;

при х=а MZ1 = RA·а=9,42·0,4 = 3,768 кН  м.

MZ2 = RA· x-q(x-a)2/2, a<x<3a;

при х=а      MZ2=RA·a= 9,42·0,4=3,768кНм;

при х=хC

при x=3a   MZ2=RA·3a-q·2a2=9,42·3·0,4-20·2·0.42=4.900 кН·м;

при ххCпри x3a MZ2RA3a-q2a29,4230,4-2020.424.900 кНм

 

МZ3 = -RBx + М + F(x - 2а),  Формула х Формула За

при х=3а МZ3=-RB·3a+М + F·а=-3,42·3·0.4+5+10·0.4=4.900 кН·м;       при х=2а МZ3=-RB·2a+M=-3,42·2·0,4+5 = 2.2 кН·м.

MZ4=-RBx+ M, апри х3а МZ3-RB3aМ Fа-3,4230.45100.44.900 кНм при х2а МZ3-RB2aM-3,4220,45 2.2х при х3а МZ3-RB3aМ Fа-3,4230.45100.44.900 кНм при х2а МZ3-RB2aM-3,4220,45 2.220 ;

при х = 2а MZ4 =-RB·2a + M =-3,42 ·2·0,4+5 = 2,264 кН·м;   

при х = а   MZ4 =-RBa + M= -3.42·0.4 +5 = 3.632 кН·м.  

MZ5=-RBx,  0ФормулахФормулаa;

при х = а     MZ5 =-RBa =-3,420·,4 = -1,368 кН·м;

при х=0         MZ5=0.

Эпюру изгибающих моментов MZ строим в масштаб μM=0,5 кН·м/мм

5.Исходя из эпюры изгибающих моментов, МZmax=5.987 кН·м

Требуемый осевой момент сопротивления при изгибе:

Требуемый осевой момент сопротивления при изгибе

 

Для прямоугольника момент сопротивления

Для прямоугольника момент сопротивления, откуда: ширина сечения 

Для прямоугольника момент сопротивления; высота сечения h=2b=2·96.5=193 мм.